Дифференцированные платежи

Рассмотрим следующее творение гиганта мысли ( http://www.antibank.su/kokorev-rostislav-aleksandrovich) - https://finuch.ru/lectures/19255

При­мер 4а. Кре­дит с по­сте­пен­ным по­га­ше­ни­ем основ­но­го дол­га и упла­той про­цен­тов на оста­ток

Для по­куп­ки но­во­го теле­ви­зо­ра Се­мен взял кре­дит в банке в сум­ме 30000 ру­блей под став­ку 24% го­до­вых сро­ком на 180 дней. По усло­ви­ям до­го­во­ра кре­дит га­сит­ся рав­ны­ми пла­те­жа­ми по 5000 ру­блей каж­дые 30 дней. Од­новре­мен­но с эти­ми пла­те­жа­ми произ­во­дит­ся упла­та про­цен­тов за про­шед­ший ме­сяц, про­цен­ты на­чис­ля­ют­ся на фак­ти­че­ский оста­ток за­дол­жен­но­сти. Сколь­ко всего Се­мен запла­тит банку и че­му бу­дет рав­на сум­ма пере­пла­ты? (Год для це­лей рас­че­та про­цен­тов бу­дем счи­тать рав­ным 360 дней.)

Составим таблицу, как он решает эту задачу:

месяц денежный поток погашение процентов погашение основного долга остаток основного долга
0 -30000     30000
1 5600 600 5000 25000
2 5500 500 5000 20000
3 5400 400 5000 15000
4 5300 300 5000 10000
5 5200 200 5000 5000
6 5100 100 5000 0
Итого: 32100 2100 30000  

Таблица 1. График платежей по мнению гиганта мысли (и банка).

Найдем ПСК по ст.6 353-ФЗ

Базовый период равен 1 месяцу, значит, ЧБП=12. Все ek=0. Тогда формула расчета i будет

\(-30000+{5600 \over 1+i}+{5500 \over (1+i)^2}+{5400 \over (1+i)^3}+{5300 \over (1+i)^4}+{5200 \over (1+i)^5}+{5100 \over (1+i)^6}=0\)

i=0.02

Действительно,

\(-30000+{5600 \over 1.02}+{5500 \over 1.02^2}+{5400 \over 1.02^3}+{5300 \over 1.02^4}+{5200 \over 1.02^5}+{5100 \over 1.02^6}=0\)

Это значит, что каждое из этих слагаемых - это и есть часть кредита, выданной на соответствующий срок.

То есть, это равнозначно тому, что в начальный момент выдали 6 кредитов на срок от 1 до 6 месяцев.

Составим таблицу денежных потоков:

месяц 1 кредит 2 кредит 3 кредит 4 кредит 5 кредит 6 кредит Итого
0 -5490.20 -5286.43 -5088.54 -4896.38 -4709.80 -4528.65 -30000
1 5600           5600
2   5500         5500
3     5400       5400
4       5300     5300
5         5200   5200
6           5100 5100

Таблица 2. График денежных потоков по 6 кредитам.

i тоже равно 0.02

Это значит, что ПСК по таблицам 1 и 2 одинаковая, равна 24%. 

Полная стоимость кредита - это универсальный индикатор, который был введен регулирующим органом именно для того, чтобы обеспечить заемщику надежный инструмент для сравнения условий разных кредитов, с разным механизмом выплат.

Итак, мы видим, что кредиты в таблицах 1 и 2 - эквивалентны.

Смотрим, что же из себя представляет , например 6 кредит.

Выдано в начальный месяц 4528.65, через 6 месяцев к возврату 5100.

Но \(4528.65\cdot(1+{24\% \over 12})^6\approx 5100\)

А это и есть приближенные сложные проценты, где процент за месяц вычисляется по линейному члену разложения в ряд Тейлора/Маклорена.

Таким образом, кредиты по таблицам 1 и 2 основаны на сложных процентах.

Как правильно заметил гигант мысли (видимо, по чьей-то подсказке), точные сложные проценты за месяц будут вычисляться по формуле 

\(p=(1+24\%)^{1\over 12}-1\)

Значит, правильный точный расчет сложными процентами этой задачи будет:

месяц денежный поток погашение процентов погашение основного долга остаток основного долга
0 -30000     30000
1 5542.63 542.63 5000 25000
2 5452.19 452.19 5000 20000
3 5361.75 361.75 5000 15000
4 5271.31 271.31 5000 10000
5 5180.88 180.88 5000 5000
6 5090.44 90.44 5000 0
Итого: 31899.20 1899.20 30000  

Таблица 3. График платежей правильными точными сложными процентами.

Но мы помним слова самого же Кокорева Р.А.: "в по­тре­би­тель­ском кре­ди­то­ва­нии, со­глас­но пунк­ту 2 ста­тьи 317.1 ГК РФ, слож­ные про­цен­ты ис­поль­зо­вать­ся не долж­ны."

Значит, и Семен столкнулся с обманом.

Мы не будем останавливаться на простом аннуитете, это подробно было рассмотрено в http://www.antibank.su/ege-2020, сразу скажем, что здесь надо считать по ключевой ставке, это тоже подробно было рассмотрено в примере 2б http://www.antibank.su/kokorev-rostislav-aleksandrovich

Здесь мы остановимся вот на чем: в начале статьи Кокорев Р.А. пишет :

Не­слож­но за­ме­тить, что при круп­ной сум­ме дол­га выпла­чи­вать в тече­ние всего сро­ка толь­ко про­цен­ты, а по­том еди­новре­мен­но по­га­шать весь основ­ной долг, - не луч­шая стра­те­гия для заем­щи­ка. Дело в том, что ПСК в том и другом случае одинаковая. Это подробно рассматривалось в примере 3а.

А в конце пишет: Об­щая сум­ма выпла­чен­ных про­цен­тов, она же сум­ма пере­пла­ты, со­ста­вит 600+500+400+300+200+100 = 2100 ру­блей. Об­щая ве­личи­на выплат – 32100 ру­блей. Обра­ти­те вни­ма­ние, что если бы Се­мен по­га­шал кре­дит не по ча­стям, а еди­новре­мен­но в кон­це сро­ка. то он запла­тил бы в ви­де про­цен­тов 30000*0,24/2=3600 ру­блей, а об­щая ве­личи­на выплат со­ста­ви­ла бы 33600 ру­блей.

Давайте рассчитаем ПСК именно так: в начале срока кредитования денежный поток -30000, через 6 месяцев 33600, БП=6 месяцев, ЧБП=2, i рассчитывается из уравнения

-30000+33600/(1+i)=0

i=0.12

ПСК=24%.

Опять оба этих варианта равнозначны.

Копнем теперь еще глубже. Дело в том, что ПСК (полная стоимость кредита) основана на приближенных сложных процентах. Действительно, по ст. 6 353-ФЗ ПСК находится из уравнения:

\(\sum_{k=1}^m{ДП_k\over (1+e_k{ПСК \over ЧБП})(1+{ПСК \over ЧБП})^{q_k}}=0\)

Что такое ЧБП? Это \({365\over d_k-d_{k-1}}\)

Что такое БП? Это \(d_k-d_{k-1}\)

Что такое qk? Это целая часть от \({d_k-d_1\over БП}\)

Что такое ek? Это дробная часть от \({d_k-d_1\over БП}\)

Что такое m? Это n+1

Что такое \((1+e_k{ПСК \over ЧБП})\)? Это приближенное значение по ряду Тейлора/Маклорена от \((1+{ПСК \over ЧБП})^{e_k}\)

Тогда \((1+e_k{ПСК \over ЧБП})(1+{ПСК \over ЧБП})^{q_k}=(1+{ПСК \over ЧБП})^{d_k-d_1\over БП}\)

Что такое \((1+{ПСК \over ЧБП})\)? Это приближенное значение по ряду Тейлора/Маклорена от \((1+ПСК)^{1\over ЧБП}\)

Тогда \((1+e_k{ПСК \over ЧБП})(1+{ПСК \over ЧБП})^{q_k}=(1+ПСК)^{{1\over ЧБП}\cdot{d_k-d_1\over БП}}=(1+ПСК)^{(d_k-d_1)\cdot БП\over БП\cdot 365}=(1+ПСК)^{(d_k-d_1)\over 365}\)

Тогда \(\sum_{k=1}^m{ДП_k\over (1+e_k{ПСК \over ЧБП})(1+{ПСК \over ЧБП})^{q_k}}=0\) - это приближенное значение от \(\sum_{k=1}^{n+1}{ДП_k\over (1+ПСК)^{(d_k-d_1)\over 365}}=0\)

Меняем диапазон суммирования от k=1 до m на от i=0 до n, получаем:

\(\sum_{i=0}^{n}{ДП_i\over (1+ПСК)^{(d_i-d_0)\over 365}}=0\)

А это и есть формула ПСК до 1.09.2014

Эта формула гораздо точнее, поскольку основана на точных сложных процентах. В Excel по этой формуле рассчитывается функция ЧИСТВНДОХ(XIRR). Теперь рассчитаем ПСК по точной формуле для таблицы 1.

Здесь нужно предпринять упрощающие действия, поскольку в задаче 360 дней в году, 30 дней в месяце.

\(\sum_{i=0}^{n}{ДП_i\over (1+ПСК)^{i\over 12}}=0\)

ПСК в этом случае примерно равна 26,828%.

Теперь рассчитаем по этой формуле ПСК, когда кредит взят 30000, а через полгода вернули 33600

Уравнение получается

\(-30000+{33600 \over (1+ПСК)^{1\over 2}}=0\)

ПСК=25,44%.

И мы приходим к совершенно противоположному выводу: погашение одним платежом 33600 через полгода выгоднее, чем погашение 32100 частичными платежами.

Опять гигант мысли всех ввел в заблуждение.  

Здесь требуется пояснение. Точнее будет сказать, что погашение одним платежом 33600 через полгода принесет банку меньшую выгоду, чем погашение 32100 частичными платежами, потому что, например, 5600 рублей после первого месяца можно точно так же отдать в кредит другому человеку под те же проценты на 5 месяцев, и возникает взрывная зависимость сложных процентов. А когда через полгода Семен принесет 33600, то они так и останутся 33600 без всяких сложных процентов.

Поэтому не надо думать, что банк такой добренький и входит в положение человека и позволяет ему кредит гасить частями. Просто банку так выгоднее, чтобы кредит гасился частями, а не целиком.

На этот счет есть прекрасная задачка, которую я вам продемонстрирую для самостоятельного решения.

Пришел человек в банк. Хочу миллион, зарплата у меня 36000.
Банк подумал, порешал, можем дать тебе миллион, но на 20 лет
под 20% годовых. Каждый месяц нужно выплачивать 16988,24 руб.
- А сколько всего процентов за 20 лет я выплачу?
- 3077168,45 руб.
Подумал человек, и говорит: а это сложные проценты или простые?
- Простые.
- Я думаю так: вы мне даете 1 млн руб под 20% годовых, значит,
если возврат кредита происходит один раз через 20 лет, то
мне надо было бы вернуть 1 млн*(1+20*20%)=5 млн. Вы, чтобы мне
сразу 5 млн не платить, разбили это помесячно, и в итоге, я
должен платить не 5 млн, а 3 млн процентов и 1 млн сам кредит,
итого 4 млн. Мне, собственно гораздо проще 1 раз к вам приехать
и заплатить сразу 5 . И вам выгоднее: вы получите не 4 млн, а 5.
И мне выгодно: не надо к вам 240 раз приезжать. Давайте вы не
будете разбивать помесячно.
- Хорошо,-сказали в банке.
Человеку выдали миллион, он поинтресовался:
- А какой у вас самый выгодный вклад на длительный срок?
- 10% годовых, но хранить нужно 20 лет и ни разу не снимать.
Мы вам даже каждый месяц будем увеличивать вклад на начисленные
проценты.
Человек отсчитывает 700 тыс из выданного кредита и открывает
именно такой счет, пишет однократное долгосрочное поручение
снять с этого счета 5 млн и положить в погашение кредита.
"Вот мы его дурака обманули", - подумали в банке. Мало того,
что он взял кредит, так еще и 700 тыс сразу отдал.-
"А кредит-то он с миллиона платить будет, да еще и 20 лет.
В итоге: мы выдали кредит 300 тыс, а через 20 лет получим
5 млн. Это получается 78 целых и 1/3% годовых!!!
...
Прошло 20 лет. Это был единственный раз, когда человек снова
пришел в банк.
Банк потер руки, сейчас человек внесет сумму до 5 млн на вклад.
Вместо этого, человек снял оставшиеся после уплаты 5 млн
129 651,65 руб.