Поле

Здравствуйте, друзья!

Публикую полную теорию романионов . В честь своей жены (Анастасии), которая очень помогла мне своим отношением, назвал 1,1-романионы  2-настионами. 1,1,1-романионы - это 3-настионы, 1,1,1,1-романионы - это 4-настионы и т.д.

Соответственно, 1-настион - это комплексное число

Поскольку самый бриллиант этих романионов - это 1,1-романион, назовем его нюшионом (в честь моей дочки Анечки).

Все привыкли видеть, что (a+bi)+(c+di)j - это кватернион [[1]] a+bi+cj+dk. Но это не так. Через кватернион можно получить множество решений для диофантова уравнения A²+B²+C²+D²=Eⁿ путем возведения кватерниона в степень n. Действительно, (a+bi+cj+dk)²=(a+bi+cj+dk)(a+bi+cj+dk)=a²+abi+acj+adk+abi-b²+bcij+bdik+acj+bcji-c²+cdjk+adk+bdki+cdkj-d²=a²+abi+acj+adk+abi-b²+bck+bdik+acj-bck-c²+cdjk+adk+bdki+cdkj-d²

Далее по таблице

Таблица умножения базисных кватернионов

1,i,j,k [[2]]

X

1

i

j

k

1

1

i

j

k

i

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

j

-i

-1

Умножение антикоммутативно

проведем умножение базисных кватернионов:

(a+bi+cj+dk)²=a²+abi+acj+adk+abi-b²+bck-bdj+acj-bck-c²+cdi+adk+bdj-cdi-d²=a²-b²-c²-d²+(2ab)i+(2ac)j+(2ad)k

Что приводит к множеству решений уравнения A²+B²+C²+D²=E²:

(a²-b²-c²-d²)²+(2ab)²+(2ac)²+(2ad)²=(a²+b²+c²+d²)²

Если же мы возведем в квадрат это число: (a+bi)+(c+di)j, то получим

( (a+bi)+(c+di)j ) ( (a+bi)+(c+di)j )=((a+bi)²-(c+di)²)+(2(a+bi)(c+di))j

множество решений диофантова уравнения X²+Y²=Z² в целых комплексных числах:

((a+bi)²-(c+di)²)²+(2(a+bi)(c+di))²=((a+bi)²+(c+di)²)²

или

(a²-b²-c²+d²+(2ab-2cd)i)² + (2ac-2bd+(2ad+2bc)i)² = (a²-b²+c²-d²+(2ab+2cd)i)² 

Если раскрыть скобки

((a+bi)²-(c+di)²)+(2(a+bi)(c+di))j=(a²-b²-c²+d²+(2ab-2cd)i) + (2ac-2bd+(2ad+2bc)i)j=(a²-b²-c²+d²)+(2ab-2cd)i+(2ac-2bd)j+(2ad+2bc)ij,

то совершенно случайно мы получим решение диофантова уравнения A²+B²+C²+D²=E²+F²:

(a²-b²-c²+d²)²+(2ab-2cd)²+(2ac-2bd)²+(2ad+2bc)²=(a²+b²+c²+d²)²+(2ad-2bc)²

и следующую таблицу:

X

1

i

j

ij

1

1

i

j

ij

i

i

-1

ij

-j

j

j

ij

-1

-i

ij

ij

-j

-i

1

Умножение коммутативно.

Назовем число (a+bi)+(c+di)j 1,1 - романионом. Обозначим это множество чисел 𝕄 1,1

Можно перейти теперь к общей теории романионов. Обычные действительные числа - это романионы или нуль-романионы (𝕄0), поскольку количество мнимых базовых векторов (например, i,j,k) равно 0. Будем называть их нульмерными романионами.

Примеры одномерных романионов (𝕄(1)):

Комплексные числа (ℂ) - 1- романионы (𝕄1)

Кватернионы (ℍ) - 2-романионы (𝕄2)

Октонионы (ℍ) [[3]] - 3- романионы (𝕄3)

Седенионы (ℍ) [[4]] - 4-романионы (𝕄4)

Двумерные романионы (𝕄(2)) - одномерные романионы с одномернороманионными координатами:

1,1-романионы - комплексные числа с комплексными координатами (𝕄1,1)

n-мерные романионы  - одномерные романионы с (n-1)мернороманионными координатами

Пример:

1,1,1-романионы - комплексные числа с координатами в виде комплексных чисел с комплексными координатами - трехмерный романион (𝕄(3))

 

Пример:

𝕄1,1,1 - комплексные числа с координатами в виде комплексных чисел с комплексными координатами.

Глубоко убежден, что после открытия романионов доступнее окажется понимание специальной теории относительности, описываемой октонионами. Ведь кроме октонионов существуют еще 1,1,1-, 1,2- и 2,1-романионы.

Кроме того, на примере множества решений диофантова уравнения A²+B²+C²+D²=E²+F²:

(a²-b²-c²+d²)²+(2ab-2cd)²+(2ac-2bd)²+(2ad+2bc)²=(a²+b²+c²+d²)²+(2ad-2bc)²

можно сказать, что здесь абсолютно неизведанная область, куда не наступишь - везде открытия. Здесь работы на тысячелетия и для физиков, и для математиков.

Даже в обычных действительных числах (решение уравнения X²-Y²=Z²), так и в обычных комплексных числах:

Умножение соответствующего комплексного числа приводит нас к множеству решений уравнения PX² +QY² =RZ²

p(pac²-qad²-2qbcd)²+q(2pacd+pbc²-qbd²)²=(pa²+qb²)(pc²+qd²)²

Через обычные комплексные числа находится и множество решений уравнения:

PX²+QY²=Zⁿ

Вообще, при помощи романионов можно найти множество решений подобных уравнений не только в целых, комплексных числах с целыми координатами, гиперкомплексных числах с целыми координатами, но в любых других романионах путем возведения в степень на один порядок больших романионов. Например, A²+B²+C²+D²+E²=F⁵ 

Берем любой одномерный романион из пяти координат, например,

(a+bi+cj+dij+ek)⁵

из этого находим множество решений уравнения A²+B²+C²+D²+E²=F⁵

(10ad²e²+10ab²d²+10ab²e²+10ac²e²+10ac²d²+5ae⁴+a⁵+10ab²c²+5ab⁴+5ac⁴+5ad⁴-10a³b²-10a³c²-10a³e²-10a³d²)²+

(-10ba²c²-10ba²d²+2bc²d²+2bd²e²+2bc²e²+2b³c²+2b³d²-10a²b³-10ba²e²+5ba⁴+be⁴+2b³e²+bd⁴+bc⁴+b⁵)²+

(2b²c³+ce⁴+2c³e²+cd⁴+cb⁴+5ca⁴+2cd²e²+2cb²e²+2cb²d²-10ca²d²-10ca²b²+c⁵-10a²c³+2c³d²-10ca²e²)²+

(2db²c²-10da²e²+2dc²e²-10da²c²+2db²e²-10da²b²-10a²d³+2c²d³+2b²d³+de⁴+2d³e²+db⁴+dc⁴+5da⁴+d⁵)²+

(-10a²e³-10ea²d²+2eb²c²+2eb²d²+2ec²d²-10ea²b²-10ea²c²+e⁵+2d²e³+2b²e³+2c²e³+ed⁴+eb⁴+ec⁴+5ea⁴)²=(a²+b²+c²+d²+e²)⁵

Совсем уж неожиданные решения:

(abc(a²+ab+b²))²+(ac(a³-b³))²+(bc(a³-b³))²-(c((a²)²+(b²)²+(ab)²))²

(a₁a₂+a₂a₄-a₃²-a₁a₄)²+(a₁a₄-a₂²-a₁a₃+a₃a₄)²+

(a₁a₃-a₁a₂+a₂a₃-a₄²)²+(a₁²+a₂a₃+a₃a₄+a₂a₄)²=(a₁²+a₂²+a₃²+a₄²)²

(ab)²+(a(a-b))²+(b(a-b))²=(b²-ab+a²)²

Это только те свойства, которые я смог найти, глубоко убежден, что такой подход приводит к практически неисчерпаемому запасу открытий и эти числа - романионы - дают нам вектор открытий на ближайшее тысячелетие, равносильно, как комплексные числа, а затем и гиперкомплексные, дали мощный толчок в развитии математики и физики в целом на века.

Романионы - это суперчисла, которые включают в себя все известные числовые системы.

 

 

[1] https://ru.wikipedia.org/wiki/Кватернион#Через_комплексные_числа

[2] https://ru.wikipedia.org/wiki/Кватернион#Стандартное

[3] https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра_Кэли

[4] https://ru.wikipedia.org/wiki/Седенион

Доказательство, что 1,1-романион образует поле

Докажем, что 1,1-романион (a+bi)+(c+di)j не образует поле.

Вначале посмотрим, как ведут себя орты 1,i,j,ij при умножении:

X

1

i

j

ij

1

1

i

j

ij

i

i

-1

ij

-j

j

j

ij

-1

-i

ij

ij

-j

-i

1

 

Таблица умножения 1,1-романиона.

 

Для этого 1,1-романион должен обладать следующими свойствами[[1]]

Коммутативность сложения: (a+bi)+(c+di)j+(p+qi)+(r+si)j=(a+p+(b+q)i)+(c+r+(d+s)i)j

(p+qi)+(r+si)j+(a+bi)+(c+di)j=(a+p+(b+q)i)+(c+r+(d+s)i)j

Ассоциативность сложения:

((a+bi)+(c+di)j+(p+qi)+(r+si)j)+(t+ui)+(v+wi)j=(a+p+t+(b+q+u)i)+(c+r+w+(d+s+w)i)j

(a+bi)+(c+di)j+((p+qi)+(r+si)j+(t+ui)+(v+wi)j=(a+p+t+(b+q+u)i)+(c+r+w+(d+s+w)i)j

Существование нулевого элемента:

(a+bi)+(c+di)j+0=(a+bi)+(c+di)j

Существование противоположного элемента:

(a+bi)+(c+di)j+(-(a+bi)-(c+di)j)=0

Коммутативность умножения:

((a+bi)+(c+di)j)((p+qi)+(r+si)j)=(ap-bq-cr+ds)+(aq+bp-cs-dr)i+(ar-bs+cp-dq)j+(as+br+cq+dp)ij

 ((p+qi)+(r+si)j)((a+bi)+(c+di)j)=(ap-bq-cr+ds)+(aq+bp-cs-dr)i+(ar-bs+cp-dq)j+(as+br+cq+dp)ij

Ассоциативность умножения:

(((a+bi)+(c+di)j)((p+qi)+(r+si)j)))((t+ui)+(v+wi)j)=(tap-tbq-tcr+tds-uaq-ubp+ucs+udr-var+vbs-vcp+vdq+was+wbr+wcq+wdp)+(uap-ubq-ucr+uds+taq+tbp-tcs-tdr-war+wbs-wcp+wdq-vas-vbr-vcq-vdp)i+(vap-vbq-vcr+vds-waq-wbp+wcs+wdr+tar-tbs+tcp-tdq-uas-ubr-ucq-udp)j+(wap-wbq-wcr+wds+vaq+vbp-vcs-vdr+uar-ubs+ucp-udq+tas+tbr+tcq+tdp)ij

((a+bi)+(c+di)j)(((p+qi)+(r+si)j)((t+ui)+(v+wi)j)))=(tap-tbq-tcr+tds-uaq-ubp+ucs+udr-var+vbs-vcp+vdq+was+wbr+wcq+wdp)+(uap-ubq-ucr+uds+taq+tbp-tcs-tdr-war+wbs-wcp+wdq-vas-vbr-vcq-vdp)i+(vap-vbq-vcr+vds-waq-wbp+wcs+wdr+tar-tbs+tcp-tdq-uas-ubr-ucq-udp)j+(wap-wbq-wcr+wds+vaq+vbp-vcs-vdr+uar-ubs+ucp-udq+tas+tbr+tcq+tdp)ij

Существование единичного элемента:

((a+bi)+(c+di)j)×1=((a+bi)+(c+di)j)

Существование обратного элемента для ненулевых элементов:

x=-2c²b²+2c²a²+2c²d²+d⁴+8adcb+a⁴+b⁴+2b²d²+c⁴-2a²d²+2a²b²

((a+bi)+(c+di)j)⁻¹=(a³+ab²+c²a+2bcd-ad²)/x+((-a²b-b³+bc²-bd²-2cad)/x)i+((ca²+2adb+c³+cd²-b²c)/x)j+((dc²+2abc+d³+b²d-a²d)/x)ij

Для элемента, например, (1+i)+(1-i)j обратного элемента не существует, потому что здесь происходит деление на ноль: x=-2c²b²+2c²a²+2c²d²+d⁴+8adcb+a⁴+b⁴+2b²d²+c⁴-2a²d²+2a²b²=-2+2+2+1-8+1+1+2+1-2+2=0

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

((a+bi)+(c+di)j+(p+qi)+(r+si)j)((t+ui)+(v+wi)j)=(ta+tp-ub-uq-vc-vr+wd+ws)+(ua+up+tb+tq-wc-wr-vd-vs)i+(va+vp-wb-wq+tc+tr-ud-us)j+(wa+wp+vb+vq+uc+ur+td+ts)ij

((a+bi)+(c+di)j)((t+ui)+(v+wi)j)+((p+qi)+(r+si)j)((t+ui)+(v+wi)j)=(ta+tp-ub-uq-vc-vr+wd+ws)+(ua+up+tb+tq-wc-wr-vd-vs)i+(va+vp-wb-wq+tc+tr-ud-us)j+(wa+wp+vb+vq+uc+ur+td+ts)ij

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[[1]] https://ru.wikipedia.org/wiki/Поле_(алгебра)