§ 1. Проценты

 

Прежде чем приступать к изучению финансовой математики, нужно вспомнить одно важное понятие из математики обычной. Как вы уже догадались по заголовку этого параграфа, речь идёт о процентах. Чёткое понимание сущности процентов и умение производить любые операции с ними является базовым навыком любого специалиста (и любителя) в области финансов.

Определение процента

Как вы помните из школьного курса математики (за пятый класс), процентом называется одна сотая часть числа, а для его обозначения используется специальный символ — «%». Этот символ в выражениях заменяет собой множитель 0,01 (одна сотая). Например, запись

25% · A

(читается «двадцать пять процентов от числа A») означает то же самое, что и

0,25 A.

Аналогичным образом любое выражение, в котором используются проценты, можно переписать с использованием дробей. Теперь понятно, что применение процентов — это просто привычный и удобный способ говорить о долях (о сотых долях) различных величин.

Пример
Ломбардными называются кредиты, выдаваемые под залог материальных ценностей. Особенностью таких кредитов является то, что их размер определяется, исходя из оценочной стоимости залога.

Например, пусть заёмщик хочет получить ломбардный кредит под залог золотого кольца с бриллиантом, которое эксперты ломбарда оценили в 15 тысяч рублей. Если согласно правилам ломбарда размер кредита не может превышать 75% от стоимости залога, то максимальная сумма кредита, на которую может рассчитывать заёмщик, составляет

75% · 15 000 = 0,75 · 15 000 = 11 250 рублей.

Примечание. За рубежом в качестве залогов по кредитам обычно выступают ценные бумаги (облигации, акции), а в нашей богатой природными ресурсами стране — ювелирные изделия.

Сравнение величин с использованием процентов

Проценты часто используются, когда нужно сравнить между собой два числа (например, 8 и 10). Их соотношение между собой можно описать как минимум четырьмя способами:

  • 8 составляет 80% от 10, так как 8 = 80% · 10;
    8 на 20% меньше 10, так как 8 = 10 – 20% · 10;
    10 составляет 125% от 8, так как 10 = 125% · 8;
    наконец, 10 на 25% больше 8, так как 10 = 8 + 25% · 8.

Пример
Согласно постановлениям премьер-министра Украины от 30 июня 2005 года (которые, возможно, уже утратили свою актуальность, но это неважно), должностной оклад президента Украины составляет 140%, а заместителя госсекретаря — 80% от должностного оклада премьер-министра Украины (который принимается за точку отсчёта). Определим, на сколько процентов оклад президента Украины больше, чем оклад заместителя госсекретаря.

Для этого обозначим через x размер должностного оклада премьер-министра Украины. Тогда оклад президента равен 1,4x, а заместителя госсекретаря — 0,8x. Значит, оклад первого больше оклада второго на

\[\frac{1,4x-0,8x}{0,8x}=0,75=75\%.\]

Теперь мы вспомним несколько важных терминов, используемых при сравнении между собой двух различных по времени значений одной и той же переменной величины. Эту величину мы обозначим A, а два её последовательных значения — A1 и A2. Как, опять же, известно из школьного курса (алгебры и физики), абсолютным приращением (или абсолютным ростом — так более благозвучно) величины \(A\) называется разность

\[\Delta A = A_2 – A_1.\]

Абсолютное приращение не во всех случаях является хорошим показателем. К примеру, один ваш богатый друг положил в банк 1 миллион рублей и через год снял со своего счёта 1 миллион 100 тысяч. А другой менее богатый друг занял 100 тысяч рублей местному криминальному авторитету и через год получил 200 тысяч. Если отбросить моральную сторону дела и сравнить эти два случая с точки зрения эффективности вложений, то абсолютное приращение денег в обоих случаях оказывается одинаковым — по 100 тысяч рублей. Однако интуитивно понятно, что второе вложение выгоднее, ведь для него изначально потребовалось значительно меньше средств.

В данном случае для сравнения необходимо было использовать такой показатель, как относительное приращение, которое определяется следующим образом:

\[\delta A = \frac{\Delta A}{A_1}\]

В обычной жизни, в частности, когда речь идёт о деньгах, чаще используется не сухо-математический термин «относительное приращение», а более понятные и привычные термины «процентный рост» или «темп прироста». Если вернуться к примеру с вашими друзьями, то процентный рост капитала первого друга составил всего лишь 10%, а процентный рост капитала второго друга — целых 100%!

Пример
Согласно официальным данным, 1 марта 2006 года курс доллара составлял 28,1211 рублей за один доллар, а 1 августа этого же года — 26,8197 рублей за один доллар.

Процентный рост курса доллара за эти пять месяцев был отрицательным и составил

\[\frac{26,8197 - 28,1211}{28,1211} \approx -0,0463 = -4,63\%.\]

Теперь хочу подчеркнуть, что проценты - это всегда множитель, который рассчитан от чего-то. Проценты сами по себе существовать не могут. Мало того, когда мы говорим, например, что цены выросли на 5 процентов, то это мало, надо еще сказать: "По сравнению с каким-то периодом". Тогда мы должны понимать, что цены выросли не НА какую-то величину (в данном случае на 5%), а В 1,05 раза. Была б моя воля, я вообще запретил значок %, потому что он на подсознательном уровне вызывает ложное восприятие действительности. При решении задач на проценты всегда нужно этот ложный символ % заменять на дробь, и тогда всё сразу станет понятно.

Задача 1. На склад привезли 1000 кг огурцов. Содержание воды в них было 99%. Через месяц огурцы высохли, и содержание воды упало до 98%. Какая масса огурцов стала после этого?

Решение. В первую очередь надо четко уяснить, что процент воды рассчитывается от общей массы огурцов, не от 1000 кг. Просто изначально совпало, что масса огурцов в точности равна 1000 кг. 98% рассчитывается уже не от 1000 кг, а от ДРУГОЙ массы, пока нам неизвестной. Поэтому просто взять и уменьшить 1000 кг на 1% не получится. Это неправильно.

Затем нам надо определить, какая масса осталась неизменной в первом и в другом случае. Назовем его "сухим остатком". Это всё, что не может высохнуть, "не вода". Раз это не вода, значит, изначально это было 100%-99%=1%. Это значит, что сухой остаток первоначально был 1000 кг * 0,01 = 10 кг. Но и через месяц этот сухой остаток тоже 10 кг, не мог же он никуда просто так деться. Через месяц эти 10 кг уже будут составлять не 1% от общей массы, а 100%-98%=2% от общей массы. Вот теперь мы легко эту массу можем найти, это решение уравнения x*0,02=10, откуда x (общая масса) = 10/0,02=500 кг.

Ответ. 500 кг.

Эта задача показывает, насколько важно понимать, от чего вычисляются проценты. Кроме того, эту задачу можно было бы решить гораздо проще, если бы мы изначально отбросили предрассудок, что проценты складываются. Проценты - это множители. Раз сухой остаток увеличился не НА 1%, а В 2 раза: от 0,01 до 0,02, значит, и общая масса уменьшилась не НА 1%, а В 2 раза: от 1000 кг до 500 кг. Итак, очень важно понимать, что проценты - это множители, и что они от чего-то рассчитываются.

Задача 2. Инфляция каждый месяц составляла 5%. Какова итоговая инфляция за год?

Решение. Опять надо отбросить предрассудок, что проценты складываются. Это - множители, они могут складываться только в одном случае, если это подобные слагаемые, то есть, рассчитываются от одной и той же величины. Что такое инфляция? Это рост цен в процентном соотношении за какой-то период. Инфляция за месяц - это соотношение цены в конце месяца к началу месяца. Не к началу года, а к началу месяца, а начало месяца каждые 12 месяцев РАЗНЫЕ. И цены РАЗНЫЕ. Поэтому просто взять и умножить 5% на 12 не получится, потому что эти проценты вычисляются не от одной и той же величины, а каждый раз от разных. Если мы отбросим этот ложный значок % и сформулируем по-другому, то решение будет очень простым.

Рост цен ежемесячно соотносился с коэффициентом 1,05. Какой коэффициент роста цен за год? 

Всё очень просто - это 1,0512≈1,796.

Ответ. 79,6%

Эта задача тоже показывает, что всегда нужно понимать, от чего рассчитаны проценты, что это - множители.

Задача 3. На предприятии всем незаконно снизили оклад на 20%. На сколько процентов нужно поднять оклад, чтобы он восстановился в прежнем объёме?

Решение. Опять нужно перефразировать задачу. Снизили с коэффициентом 0,8 (100%-20%=80%=0,8), то есть, В 1,25 раза (1/0,8=1,25). Значит, и поднять нужно В 1,25 раза, то есть, на 25%.

Ответ. На 25%.

Задача 4. Отделу за невыполнение плана понизили премию на 10%. На сколько процентов повысится премия после выполнения плана?

Решение. Премия всегда рассчитывается от отклада, а он по условию задачи не изменялся, значит, в этом случае проценты как подобные слагаемые складываются.

Ответ. На 10%.

Вот мы и выяснили, в каком единственном случае проценты складываются.

Задача 5. Начальник сказал подчиненному, что хочет повысить ему оклад на 21%, но сделать это хочет в два этапа на одинаковое количество процентов и просит его подготовить два приказа. Подчиненный приносит ему два приказа с увеличением оклада на 10,5%. Начальник говорит: "Либо вы слишком глупы, либо слишком хитры. Я передумал вам повышать оклад.". Почему он так сказал?

Решение. Опять надо перефразировать задачу. Повысить В 1,21 раза. Значит, нужно найти такой множитель, который после умножения на себя даёт 1,21.

Это \(\sqrt{1,21}=1,1\), то есть, на 10%. Действительно, допустим, у подчиненного оклад 100000 рублей. 100000+10,5%=110500. 110500+10,5%=122102,50. Итого, оклад бы поднялся уже не на 21%, как хотел начальник, а на 22,1025%. Теперь то же самое с 10%: 100000+10%=110000. 110000+10%=121000. Теперь всё верно.

Ответ. Потому что надо было принести два приказа по 10%.