Помимо аннуитетной, существует другая популярная схема возврата кредитов, которая применяется, например, Чувашкредитпромбанком. На самом деле правильными процентами я нигде не встречал, чтобы банки считали. Эта схема называется «дифференцированной». При её использовании размер платежей подбирается таким образом, чтобы основной долг по кредиту погашался равными долями (одна такая доля, очевидно, равна S₀ / n). Ясно, что в этом случае

\[S_k = S_0 - k \frac{S_0}{n} = \frac{n-k}{n} S_0\]

Напомню, что S_k — это размер задолженности по кредиту после внесения очередного платежа с номером k. Так как платёж A_k состоит из постоянной части размером S₀ / n, погашающей основной долг, и начисленных за последний промежуток времени процентов, то

\[A_k = \frac{S_0}{n} + ((1+i)^{\tau_k}-1) S_{k-1}\]

\[A_k= \frac{S_0}{n} + ((1+i)^{\tau_k}-1) \frac{n-(k-1)}{n} S_0\]

\[A_k=\frac{(((1+i)^{\tau_k}-1)(n-k+1)+1)S_0}{n}\]

\[
\tag{11.1}
A_k = \frac{((1+i)^{\tau_k}(n-k+1)-n+k)S_0}{n}
\]

Пример
Будем, для сравнения, рассматривать тот же пример, который мы разбирали в § 9, когда речь шла об аннуитетной схеме погашения кредитов.

Итак, кредит размером 300 тысяч рублей выдан 1.02.2008 на полгода под 24% годовых и погашается дифференцированными платежами по первым числам каждого месяца.

Найдем продолжительности промежутков времени между датами внесения платежей:

• τ₁ = 29/366 ≈ 0,0792350 года;
  τ₂ = 31/366 ≈ 0,0846995 года;
  τ₃ = 30/366 ≈ 0,0819672 года;
  τ₄ = 31/366 ≈ 0,0846995 года;
  τ₅ = 30/366 ≈ 0,0819672 года;
  τ₆ = 31/366 ≈ 0,0846995 года.

Теперь по формуле (11.1) можно последовательно найти размеры всех платежей по кредиту:

\(A_1 = \frac{(1+0,24)^0,0792350 \cdot (6-1+1)-6+1}{6}\cdot 300\ 000=55\ 157,13\) рублей;

\(A_2 = \frac{(1+0,24)^0,0846995 \cdot (6-2+1)-6+2}{6}\cdot 300\ 000=54\ 596,70\) рублей;

\(A_3 = \frac{(1+0,24)^0,0819672 \cdot (6-3+1)-6+3}{6}\cdot 300\ 000=53\ 557,69\) рублей;

\(A_4 = \frac{(1+0,24)^0,0846995 \cdot (6-4+1)-6+4}{6}\cdot 300\ 000=52\ 758,02\) рублей;

\(A_5 = \frac{(1+0,24)^0,0819672 \cdot (6-5+1)-6+5}{6}\cdot 300\ 000=51\ 778,84\) рублей;

\(A_6 = \frac{(1+0,24)^0,0846995 \cdot (6-6+1)-6+6}{6}\cdot 300\ 000=50\ 919,34\) рублей.

Если все промежутки времени равны между собой (при приближённом расчёте), то формулу (11.1) можно переписать следующим образом:

\[\tag{11.2} A_k=\frac{S_0}{n}+{S_0}(n-k+1) \frac{(1+i)^\tau-1}{n}\]

Из формулы (11.2) видно, что последовательность платежей A_k представляет собой арифметическую прогрессию с начальным членом

\[A_1 = \frac{S_0}{n} + ((1+i)^\tau-1) S_0\]

и разностью

\[-\frac{((1+i)^\tau-1) S_0}{n}\]

Этот факт удобно использовать при построении графиков платежей по кредитам, если уж приходится строить их вручную.

Пример
Будем считать, что в рассматриваемом нами на протяжении уже двух параграфов примере точные даты внесения платежей неизвестны. Тогда размер первого платежа вычисляется по формуле (11.2):

\[A_1 = \frac{300\ 000}{6} + ((1+0,24)^{\frac{1}{12}}-1) \cdot 300\ 000 \approx 55\ 426,27\] рублей,

а все остальные платежи находятся как члены арифметической прогрессии с разностью

\(-\frac{((1+0,24)^{\frac{1}{12}}-1) \cdot 300\ 000}{6} = -904,38\) рублей.

То есть:

• A₂ = 55 426,27 – 904,38 = 54 521,89 рублей;
  A₃ = 54 521,89 – 904,38 = 53 617,51 рублей;
  A₄ = 53 617,51 – 904,38 = 52 713,13 рублей;
  A₅ = 52 713,13 – 904,38 = 51 808,75 рублей;
  A₆ = 51 808,75 – 904,38 = 50 904,37 рублей.

А вот тут уже, как видите, разница с точными результатами (предыдущий пример) вполне ощутимая. Имейте это в виду — строить график погашения кредита с использованием дифференцированной схемы лучше всегда точно.