§ 17. Ссуды, выдаваемые под сложные проценты

 

Для примера рассмотрим кредит размером S0 рублей, который погашается частичными платежами A1A2, ..., An в моменты времени t1t2, ..., tn соответственно. Допустим, что кредит выдан под сложную процентную ставку i. Тогда на момент внесения первого платежа сумма долга по кредиту будет равна

S0 (1 + it1 рублей.

В соответствии с актуарным методом первый платёж идёт на погашение начисленных за время t1 процентов и частично — на погашение основного долга, и после его внесения сумма задолженности составит уже

S1 = S0 (1 + it1 – A1 рублей.

Далее, на момент внесения второго платежа сумма задолженности опять увеличится и будет равна

[S0 (1 + it1 – A1] (1 + it2 – t1 рублей,

а после его внесения —

S2 = [S0 (1 + i ) t1 – A1] (1 + i ) t2 – t1 – A2 = S0 (1 + i ) t2 – A1 (1 + i ) t2 – t1 – A2 рублей.

И так далее. В общем случае будет справедлива следующая формула:

\[\tag{17.1} S_k = S_0 (1 + i )^{t_k} - \sum_{j=1}^k A_j (1 + i )^{t_k - t_j}\]

Желающие могут без труда доказать её с помощью метода математической индукции, как это было сделано в § 7.

Если подставить в формулу (17.1) значение k = n, вспомнить, что Sn = 0, и потом всё сократить на (1 + i)tn, то мы получим следующее элегантное соотношение:

\[\tag{17.2} S_0 = \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{(1+i)^{t_k}}\]

Точно такая же формула, очевидно, получилась бы, если бы мы воспользовались не актуарным методом, а правилом торговца (чтобы понять это, достаточно просто вспомнить суть данного правила).

Пример
Cсуда, выданная на три года под сложную процентную ставку 25%, погашается двумя частичными платежами:

  • в конце второго года — 400 тысяч рублей;
  • в конце третьего года — 500 тысяч рублей.

Чтобы найти размер ссуды, нужно воспользоваться формулой (17.2), заметив по ходу дела, что (1+0,25)–1= 0,8:

S0 = 400 · 0,82 + 500 · 0,83 = 512 тысяч рублей.

Обычно при работе со сложными процентами промежутки времени между датами внесения платежей достаточно велики, и точностью их определения пренебрегают. Поэтому, если платежи вносятся, скажем, ежеквартально, то промежутки времени между датами их внесения считаются одинаковыми. Формула (17.2) в этом случае принимает следующий вид:

\[\tag{17.3} S_0 = \sum_{k=1}^n \frac{A_k}{(1+i)^{k\tau}},\]

где τ — единая продолжительность (в годах) промежутков времени между датами внесения платежей.

Если все платежи при этом являются одинаковыми по размеру (то есть A1 = A2 = ... = An = A), то, вспомнив формулу для суммы геометрической прогрессии, мы получим следующее соотношение:

\[\tag{17.4} S_0 = \frac{A}{(1+i)^{n\tau}} \cdot \frac{(1+i)^{n\tau}-1}{(1+i)^\tau-1}=A\cdot \frac{1-(1+i)^{-n\tau}}{(1+i)^\tau-1}\]