В предыдущем параграфе мы познакомились с таким понятием, как современная стоимость потока платежей. На протяжении этого и двух последующих параграфов мы будем заниматься вычислением современной стоимости различных типов финансовых рент — наиболее важного класса денежных потоков.

Напомню, что финансовой рентой называется денежный поток, все платежи которого совершаются через одинаковые промежутки времени. Значит, формула (24.1) в случае финансовой ренты принимает следующий вид:

\[\tag{25.1} R(0) = \sum_{k=1}\frac{R_k}{(1+i)^{k\tau}},\]

где τ — период внесения платежей. Если отсутствуют скрытые комиссии, то номинальную процентную ставку j с эффективной процентной ставкой i связывает соотношение

 i= j

Значит, если вам известна только номинальная процентная ставка j, то формула (25.1) приобретает следующий вид:

\[\tag{25.2} R(0) = \sum_{k=1}\frac{R_k}{(1+j)^{k\tau}},\]

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что номинальная процентная ставка совпадает с эффективной.

Современная стоимость конечной постоянной ренты

Как вы помните, постоянной называется рента, все платежи которой имеют одинаковый размер (будем обозначать его R). Ясно, что для постоянной ренты формула (25.2) превращается в формулу вычисления суммы убывающей геометрической прогрессии с начальным членом R (1 + j)^–τ и знаменателем (1 + j)^–τ. Если эта прогрессия имеет n членов, то её сумма равна

\[\tag{25.3} R(0) = R \cdot \frac {1-(1+j)^{-\tau n}}{(1+j)^\tau-1}\]

Пример
Допустим, что вы хотите положить на банковский счёт некоторую сумму денег, чтобы в течение следующих 10 лет каждые полгода снимать оттуда по 500 тысяч рублей. Так совпало, что банк начисляет проценты тоже раз в полгода, причём номинальная процентная ставка по вкладу составляет 8%.

Ясно, что сумма, которую вы сейчас должны положить на счёт, равна современной стоимости нужного вам будущего денежного потока. Действительно, ведь каждый из дисконтированных платежей, будучи положенным на счёт, даст через соответствующий промежуток времени нужную вам выплату в 500 тысяч рублей.

Таким образом, искомая сумма денег может быть найдена с помощью формулы (25.3):

\(R(0) =500 \cdot \frac {1-(1+0,08)^{-20/2}}{(1+0,08)^0,5-1} \approx 6842\) тысяч рублей.

Значит, для того, чтобы в течение ближайших 10 лет каждые полгода снимать со счёта по 500 тысяч рублей, сейчас вам нужно отложить на эти цели около 7 миллионов. Если бы не существовало банков, и вам бы приходилось держать свои сбережения дома в сейфе, то вам нужно было бы отложить не 7, а 10 миллионов рублей.

Современная стоимость бесконечной постоянной ренты

Мы уже отмечали, что во многих финансовых задачах очень продолжительные потоки платежей удобно считать бесконечными. В этом случае вычисления становятся заметно проще, а ошибка получается совсем незаметной.

Формула для вычисления современной стоимости бесконечной постоянной ренты проста до неприличия. Посмотрите на множитель в квадратных скобках в формуле (25.3): выражение (1 + j)^–τn при увеличении n становится всё меньше и меньше, и в пределе равно нулю. Значит, для бесконечной постоянной ренты множитель в квадратных скобках отбрасывается (вернее, превращается в единицу), и получается следующее соотношение:

\[\tag{25.4} R(0) = \frac{R}{(1+j)^\tau-1}\]

Обратите внимание на тот интересный факт, что, хотя выплаты постоянны и производятся бесконечно долго, современная стоимость постоянной бесконечной ренты является вполне конечным числом. Это происходит потому, что деньги теряют свою ценность со скоростью начисления сложных процентов, и вклад бесконечно удалённых по времени платежей в современную стоимость ренты бесконечно мал.

Пример
Продолжим предыдущий пример. Предположим, что по не вполне понятным причинам вы собираетесь жить вечно, и вас больше не устраивает десятилетнее ограничение на выплату денег. Если вы хотите, чтобы сумма в 500 тысяч рублей выплачивалась вам каждые полгода на протяжении бесконечно долгого времени, то сейчас вам следует положить на счёт в банке всего лишь

\(R(0) = \dfrac{500}{(1+0,08)^\frac{1}{2}-1} = 12\ 745\) тысяч рублей.

Не так много, учитывая бесконечность ваших желаний.