§ 5. Начисление процентов

 

Если говорить кратко, то начисление процентов — это процесс увеличения задолженности заёмщика перед кредитором с течением времени.

Например, начисление процентов по вкладу выливается в увеличение суммы на счету вкладчика (деньги на счету — это задолженность банка перед вкладчиком). Начисление процентов по кредиту — это увеличение суммы, которую заёмщику нужно будет вернуть в банк.

Процентная ставка

Начисляемые проценты являются платой заёмщика за пользование ссудой — никто просто так не даст пользоваться своими деньгами, точно так же, как никто не даст бесплатно автомобиль на прокат. Размер этой платы определяется с помощью так называемой процентной ставки, которая равна относительному приращению задолженности за единицу времени, то есть за год. Иными словами, если обозначить через S0 первоначальный размер задолженности, а через S(1) — размер задолженности по истечении года, то процентная ставка определяется по формуле

\[ \begin{equation} \tag{5.1} i = \frac{S(1)-S_0}{S_0} \end{equation} \]

Процентная ставка используется для сравнения между собой однотипных ссудных операций: чем выше процентная ставка, тем выгоднее сделка для кредитора. Это становится понятно, если переписать предыдущую формулу следующим образом:

\[\tag{5.2} S(1) = (1+i) S_0 \]

— отсюда видно, что S(1) тем больше, чем больше i.

Пример
Один банк предлагает вклады в рублях под 8% годовых, а другой — под 10%. Если вкладчик имеет на руках 100 тысяч рублей, то, вложив деньги в первый банк, через год он получит сумму

(1 + 0,08) · 100 = 108 тысяч рублей,

а вложив во второй —

(1 + 0,1) · 100 = 110 тысяч рублей.

Разница в 2 тысячи рублей обусловлена разницей в предлагаемых процентных ставках.

Методы начисления процентов

Пытливый читатель должен тут же задаться вопросом: а что будет, если вкладчик заберёт деньги из банка не через год, а через полгода? Какая сумма будет на его счету? Другими словами, по какому принципу происходит начисление процентов? Как, зная только процентную ставку и сумму начального долга, определить размер задолженности в произвольный момент времени?

Как часто бывает в жизни (и как мы уже видели в предыдущем параграфе), в своем желании упростить жизнь человек, напротив, все усложняет до предела. Так люди, далёкие от финансовой математики, придумали два базовых принципа начисления процентов — метод простых процентов и метод сложных процентов.

Миф про метод простых процентов

Метод простых процентов заключается в том, что задолженность заёмщика перед кредитором возрастает с постоянной скоростью. Это значит, что график задолженности является прямой линией, проходящей через точки S0 и S(1) = (1+ i ) S0:


Увеличение задолженности заёмщика по методу простых процентов

Формула, с помощью которой можно найти размер задолженности в произвольный момент времени t, для метода простых процентов имеет следующий вид:

\[ \tag{5.3} S(t) = (1 + it ) S_0\]

(в этом нетрудно убедиться, если подставить в неё значения t = 0 и t = 1).

Пример
Допустим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч рублей в банк, предлагающий 10% годовых. Если банк использует метод простых процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

\(S\left(\tfrac{1}{2}\right) = \left(1 + 0,1 \cdot \tfrac{1}{2} \right) \cdot 100 = 105\) тысяч рублей.

Здесь возникает очень интересная ситуация: дело в том, что банк начисляет на счет проценты с определенной периодичностью, но начислять простыми процентами можно только на одну и ту же сумму — начальный долг, таким образом, как только банк начислил проценты и их выплатил, считать в этот момент можно только правильным методом, о котором мы поговорим позднее.

Миф о методе сл ожных процентов

Смысл метода простых процентов заключается в том, что проценты начисляются всё время на одну и ту же сумму — начальный долг (поэтому скорость начисления процентов постоянна). В отличие от этого, метод сложных процентов характеризуется фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика возрастает в геометической прогрессии: задолженность в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент:


Увеличение задолженности заёмщика по методу сложных процентов

Наглядно представить этот механизм можно следующим образом. Предположим, что вкладчик положил в банк сумму \(S_0\) под процентную ставку i. Тогда через год на его счету будет сумма \(S(1) = (1+ i ) S_0\). Если вкладчик решит не снимать деньги со счёта, а снова их вложить с теми же условиями (реинвестировать), то уже через два года от даты совершения первого вклада на его счету будет сумма

\[S(2) = (1+ i ) S_1 = (1+ i )^2 S_0\]

Продолжая в том же духе, за n лет вкладчик сможет получить сумму

\[S(n) = (1+ i )^n S_0\]

Как видим, сумма вклада возрастает в геометрической прогрессии. Если обобщить этот пример, то можно сказать, что при использовании метода сложных процентов задолженность заёмщика является показательной функцией от времени (показательная функция — это обобщение геометрической прогрессии):

\[\tag{5.4}S(t) = (1+ i )^t S_0\]

Пример
Предположим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч рублей всё в тот же банк, предлагающий вклады под 10% годовых. Если банк использует метод сложных процентов для начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

\(S\left(\tfrac{1}{2}\right) = (1 + 0,1)^\frac{1}{2} \cdot 100\ 000 \approx 104\ 881\) рубль.

Обратите внимание: в этом и предыдущем примерах мы неявно полагали, что вклад на полгода имеет продолжительность ½ года. Если бы мы знали точные даты начала и окончания этой финансовой операции, то для получения правильного результата нам бы пришлось вычислять её точную продолжительность в годах по методу «365/365».

Все было бы хорошо, но метод сложных процентов был дискредитирован банками.

После открытия вклада банки начисляют проценты ежемесячно или ежеквартально по методу простых процентов, ввели понятие капитализация, в связи с чем появились так называемые сложные проценты с ежемесячной капитализацией и так далее. Все настолько запуталось, что легче вообще отказаться от этих названий (метод простых процентов, местод сложных процентов). 

Развенчание мифа о методах простых и сложных процентах

Обратите внимание, что смысл метода простых процентов заключается в том, что проценты начисляются всё время на одну и ту же сумму — начальный долг.

Таким образом, если во время вклада происходит любая операция с начальным долгом, считать методом простых процентов нельзя.

Пример. У Вкладчика есть вклад в Банке 100000 руб. на 1 год под 21% годовых с возможностью досрочного снятия и пополнения любой суммы в любое время без изменения процентной ставки. Вкладчик решил закрыть вклад через полгода. Вопрос: какую сумму снимет Вкладчик? Вопрос кажется неоднозначным: мы не знаем по какому методу Банк считает проценты, как выплачиваются начисленные проценты. Очевидно, что при любом действии Заемщика решение данной задачи должно быть справедливым. Предположим, что Банк считает по методу простых процентов, тогда за полгода надо начислить 21%/2=10,5%. Получается 100000+10,5%=110500. Допустим, Заемщик в тот же день передумал и снова открыл такой же вклад с таким же условиями, вложив 110500 руб. Через полгода он закрывает и этот вклад. Получается 110500+10,5%=122102,50 руб. Если бы Заемщик не закрыл первоначальный вклад, то через год он бы получил 100000+21%=121000. Очевидно, что справедливая сумма через полгода первоначального вклада должна быть 10%. Действительно, 100000+10%=110000, 110000+10%=121000 руб. Вспоминаем задачу 5 из первого параграфа.

Понятие разных методов расчета процентов было полностью дискредитировано. Действительно, что значит "начисление процентов на проценты"?

Пример. Вкладчик сделал вклад на сумму 100 000 руб под 21% годовых с начислением полугодовых процентов таким образом, чтобы каждые полгода в течение 1 года можно было снимать по 57 619,05

Расчет вклада
Полугодие Снимаемая сумма Снимаемые суммы с вклада Начисленные и снимаемые проценты Остаток вклада
0       100 000
1 57 619,05 47 619,05 10 000,00 52 380,95
2 57 619,05 52 380,95 5 238,10 0

Какой здесь метод расчета? Ясно, что это не метод простых процентов, поскольку проценты начисляются не только на сумму первоначального вклада (не только на 100 000, но и на 52 380,95). Банки считают, что этот расчет по методу простых процентов, исходя из 20% годовых (а за полгода 10%). 

Поскольку понятия методов расчета полностью дискредитированы, поэтому в дальнейшем будем считать, что вообще нет никаких простых и сложных процентов. Есть только правильный метод расчета. Данная таблица показывает расчет правильным методом расчета процентов, исходя из 21% годовых (а за полгода 10%).

При правильном расчете "365/365" проценты начисляются по формуле 

\(p_i=K_{i-1}((1+r)^{D_i-D_{i-1}}-1)\)

p - сумма начисленных процентов, руб.

Ki-1 - остаток вклада на предыдущем этапе, руб.

r - годовая процентная ставка, доли единицы, например, 10%=0,1

\(D_i=y_i+{d_i+[30,56m_i]-30-[0,1m_i+0,7](367-j_i) \over j_i}\)

yi - год 

di - день

mi - месяц

\(j_i = 365+\left(\left[{y_i \over 4}\right]-\left[{y_i-1 \over 4}\right]\right) - \left(\left[{y_i \over 100}\right]-\left[{y_i-1 \over 100}\right]\right) + \left(\left[{y_i \over 400}\right]-\left[{y_i-1 \over 400}\right]\right) \)

[x] - наибольшее целое число, не превышающее x.

И опять всё было бы хорошо, но наш законодатель в 2015 году запретил сложные проценты в потребительском кредитовании (п.2 ст. 317.1 ГК). И опять было бы всё хорошо, если бы назвали описываемые правильные проценты правильными, но есть такой деятель - Кокорев Ростислав Александрович (эксперт Центробанка, заведующий лабораторией финансовой грамотности), который назвал эти правильные проценты сложными (запрещенными) в примере 3б https://finuch.ru/lecture/8736

Из всей этой ситации возможен только один выход: простые проценты в потребительском или ипотечном договоре могут взиматься кредитором только один раз в конце срока действия договора, тогда и не будет никаких "процентов на проценты" и проценты будут весь срок рассчитываться от первоначальной суммы долга. Поскольку правильные проценты запрещены, то нужно считать простыми.

Допустим, кредит 100 000 рублей выдан на 1 год с ежемесячным погашением. Тогда кредитор должен выдать заёмщику 12 разных кредитов на общую сумму 100 000 рублей. Первый кредит возвращается через месяц, второй - через два месяца, и т.д., двенадцатый - через год. Тогда каждый из этих 12 кредитов будет выдан под простые проценты.

В дальнейшем мы не будем останавливаться на простых процентах, тем более, что их расчёт действительно очень простой - одна операция получения кредита и одна операция погашения кредита. Поподробнее об этом можно прочитать в моём докладе на V Международной научно-практической конференции «Инновационная экономика и менеджмент: методы и технологии»

Есть и ещё один момент, дело в том, что есть еще один деятель - Александр Юрьевич Жданов - директор Департамента финансового оздоровления Банка России. Он в документе https://www.cbr.ru/Content/Document/File/104862/140919.pdf назвал проценты, которыми считают банки, сложными. Мы их будем называть неточными сложными процентами. Об этом пойдет речь в §20. Расчет полной стоимости кредита.